फलन f(x) = {left( {left{ x right} - frac{1}{2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ है।$1$. सांतत्य: भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत है। इसलिए,$f(

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सम (even)

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(D) दिया गया फलन $f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ है।$1$. सांतत्य: भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत है। इसलिए,$f(x)$ सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत है। अतः,विकल्प $A$ सही है।$2$. अवकलनीयता: चूंकि $f(x)$ पूर्णांकों पर असंतत है,इसलिए यह पूर्णांकों पर अवकलनीय नहीं है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।$3$. आवर्तता: भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ $1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है। इसलिए,$f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ भी $1$ आवर्तकाल वाला फलन है। अतः,विकल्प $C$ गलत है।$4$. सम/विषम: फलन के सम होने के लिए,$f(-x) = f(x)$ होना चाहिए। यहाँ,$f(-x) = (\{-x\} - \frac{1}{2})^2$ है। यदि $x$ पूर्णांक नहीं है,तो $\{-x\} = 1 - \{x\}$ होता है। तब $f(-x) = (1 - \{x\} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2} - \{x\})^2 = (\{x\} - \frac{1}{2})^2 = f(x)$। यदि $x$ पूर्णांक है,तो $f(-x) = (0 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ और $f(x) = (0 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$। अतः,$f(x)$ एक सम फलन है। विकल्प $D$ भी सही है।

फलन $f(x) = {\left( {\left\{ x \right\} - \frac{1}{2}} \right)^2}$ है (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

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निम्नलिखित में से कौन से फलन विषम (odd) हैं?
$I. f(x)=x\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)$
$II. f(x)=k^x+k^{-x}+\cos x$
$III. f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

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